Matematik - differentiering

Opgave 1

En funktion f er bestemt ved f(x) = x^3 + 2x + 8

Bestem f(1), og bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet (1,f(1))

Opgave 2

Der er givet en funktion  f(x) = -x^2 + 4x + 2

a) Bestem toppunktet for grafen for f, og tegn denne graf.

b) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet (6,-10)

Opgave 3

En funktion f er bestemt ved

f(x) = -x^3 + 4x^2 + 3x - 3

a) Bestem lokale ekstrema og monotoniforhold for f(x)

Så fik jeg skrevet det lidt pænere.
Håber at i kan hjælpe.

Opgave 1

Bestem f(1) .. Når din funktion hedder f(x) og du så skal bestemme f(1) så er x = 1 da 1 tallet jo står på x'ets plads. Derfor indsæt x=1 i funktionen og se hvad du får

Ligning for tangenten:
En tangent er en ret linje dvs den kan skrives på formen y = ax+b, altså defineret med en hældning (a) og et skæringspunkt med y-aksen (b).

Hældningen bestemmes med differentierering:
Differentier funktionen
f(x) = x^3 + 2x + 8

1.regl, differentation af en sum er det samme som at differentierer hvert led for sig selv så. Her er notationen ikke rigtig set matematisk med for at få dig til at forstå
f'(x^3+2x+8) = f'(x^3)+f'(2x)+f'(8)

Første led f'(8) du differentierer en konstant det giver altid 0
Anders led f'(2x)du differentierer en lige linje der er det altid hældningen altså 2
Tredie led f'(x^3) her skal du bruge din potens regl:
f'(x^n) = 1/n * x^(n-1) Derfor bliver dette (1/3)*x^2

Altså får du f'(x) = 1/3*x^2 + 2
Hvis du indsætter x i denne formel får du tangentens hældning a i punktet x. (Her er der bedt om 1).

Nu skal du finde skæring med y aksen. Til dette skal du bruge oplysningen (1,f(1)). f(1) har du allrede bestemt så her er et x og y punkt

så indsætter du i ligningen
y=ax+b (du kender x,y,a) så kan du finde b som
b=y-ax

Opgave 2

Der er givet en funktion  f(x) = -x^2 + 4x + 2                     
                         
a) Bestem toppunktet for grafen for f, og tegn denne graf.                     
           
En funktion har toppunkt der hvor dens afledede er 0. Derfor, find den afledede funktion på samme måde som i opgave 1. Herefter sætter du denne funktion til 0 og løser den


             
b) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet (6,-10)

Tangent! Det har vi lige lavet.
1) Find hældning ved at finde den afledede funktion og indsæt x. (X er her givet som 6 da (x,y) = (6,-10). Nu kan du bestemme hældningen a.
2) Du kender et punkt (x,y) og hældningen a nu mangler du kun at bestemme skæringen b på samme måde som i forgående opgave

En funktion f er bestemt ved

f(x) = -x^3 + 4x^2 + 3x - 3

a) Bestem lokale ekstrema
Lokale ekstrema er ligesom funktionens toppunkt, men da dette er en 3 ordens funktion så vil den have mere end 1 toppunkt.

Ekstremaer finde du på samme måde som toppunkt , differentier og sæt den afledede ligning lig 0 og find x. (ps. det bliver en andengradsligning).


b) monotoniforhold for f(x)
motoniforhold handler om at finde ud af om funktionen har maksimum eller minimum i de ekstrema du har fundet.

Derfor kan man bestemme hældningen før og efter ens ekstrama og se hvis hældningen før er positiv og efter er negativ har man et maksimum og modsat en minimum

svar

Du er bare den bedste!!

Du lavede ikke kun opgaverne, men også forklaringer om hvorfor de skal regnes sådan. Jeg takker dig virkelig.
Det kan jeg virkelig bruge til de kommende opgaver og selvfølgelig også til eksamen.

Endnu en gang tak.

God jul og godt nytår.