Jeg har fundet ud af det, jeg skulle bare skjule inputtet og ændre størrelsen på inputtet til den samme størrelse som knappen, og bruge noget "position: absolute" og noget "position: relative;".
Kode:
<span style="position: relative;">
<button id="importGameButton">Importer spil</button>
<input id="importGame" type="file" style="position: absolute; left: 0; top: 0; opacity: 0; cursor: pointer;" />
</span>
Og så har jeg brugt noget javascript til at ændre størrelsen på inputtet.
document.body.onload = function() {
var importGame = document.getElementById("importGame");
var importGameButton = document.getElementById("importGameButton");
importGame.style.width = importGameButton.clientWidth + "px";
importGame.style.height = importGameButton.clientHeight + "px";
}