Du kan måske klare det med en closure-konstruktion (ikke smukt, men jeg tror det fungerer):
onkeyup="var thisElm = this; setTimeout(function(){ajax_showOptions(thisElm,'getCountriesByLetters',null);},350);"
Jeg kan ikke lige gennemskue hvad event-parameteren dækker over, men hvis det er et system-event, kan du i det mindste ikke bare føre den videre til funktionen, når den er "forsinket". Derfor har jeg sendt null i stedet for event-parameteren. Hvis event er et objekt eller en værdi du har et andet sted fra, kan du sikkert bare føre den med i kaldet.