Vilårlig firkant?

Hvis ingen af siderne er parallele, må du dele den op i 2 trekanter - der er ikke een formel

svar

En formel ville indebære, at du kender nogle data om firkanten. Ligesom du er nød til at kende højde og grundlinje i en trekant for at kunne udregne arealet ved formlen A=½*h*g.

Men hvad kender man i en vilkårlig firkant? Ingen sider og ingen vinkler behøver at være ens, og så blive det lidt svært.

Hvis du kender de fire sider samt nogle vinkler i en vilkårlig firkant fx, så kan man godt opstille et udtryk, som kan finde arealet. Men det bliver en alt for komplicerete sammensætning af udtryk, som alligevel vil bygge på, at firkanten består af to trekanter.

  // Steeven

Sagt på en anden måde:

Der er metoder til at beregne arealet af enhver X-kant, når der findes x-y-koordinater til hvert hjørne. Det bruger man indenfor landmåling.

Der er koordinater til hvert hjørne i en firkant, når den er "bestemt", som steeven er inde på. Det er den typisk ved 5 stykker ud af 8 (4 sider og 4 vinkler). Som de fleste ved er en trekant typisk bestemt ved 3 stykker ud af 6 (3 sider og 3 vinkler), bortset fra det tilfælde, hvor man kender de tre vinkler. Så skal man også kende en side.

Her er et simplet eksempel på arealberegning af en firkant ud fra koordinater (det er en powerpoint):

http://www.surv.ufl.edu/courses/wwwusers/sur2101fall04/Lecture-area.ppt#8

Selvfølgelig findes der en formel. Men fomel laves simpelthen ved at sammensætte formlerne for arealet af 2 trekanter.

Arealet af en trekant er givet ved:

T = ½bc*sin(A)

hvor b og c er længderne på de to sider som ligger på hver side af vinkelen A.

Derfor får man arealet af firkanten ved at dele den op i to trekanter T1 og T2 og summere deres areal:

T = T1+T2 = ½a1a2*sin(A) + ½c1c2*sin(C)

hvor a1 og a1 er længden af de to sider som ligger på hver side af vinkelen A, og
hvor C er den vinkel som ligger modsat af vinklen A, og
hvor c1 og c2 er længden af de sidste to sider i firkanten (nemlig dem som ligger på hver side af vinklen C).

Ud fra den logik er der jo een formel for alting :o)

Formlen for fx. arealet A af en trekant og en firkant og en cirkel er

A= (½bc*sin(A))  +  ( ½a1a2*sin(A) + ½c1c2*sin(C))  +  Pi*r^2

;o)

martin_moth>

Ja da. Eller er der et kriterie for, hvornår noget ikke er en formel?

når spørgeren skriver
"Jeg ved det er muligt at dele firkanten i 2 trekanter, men ønsket er at udregne arealet ved hjælp af én formel"
så tror jeg han tænker lidt anderledes end det svar du fremlægger  :o)

Sikkert. Men hvornår er noget simpelt nok til at blive kaldt en formel?

Hvorfor er det en formel når det er for en trekant:

T = ½bc*sin(A)

og så ikke en formel når det er for en firkant?

T = ½a1a2*sin(A) + ½c1c2*sin(C)

Det er da også en formel - men hvem kan/gider bruge den?

Dette er også en formel:
T = A * N

A: arealet af ét punkt
N: antallet af punkter, der udgør arealet

Men hvornår kan en sådan formel bruges? Du vil aldrig finde en situation, hvor du har data til at kunne bruge denne formel.
Jeg ved ikke, hvordan man gør en formel "officiel"; måske handler det blot om, at den skal være brugbar? Og relevant / rationel?

  // Steeven

Hvornår er noget en ”rigtig formel”?
Jeg ved da så meget at det ikke er noget matematikerne har noget specielt forhold til. Det synes jeg at jeg kan udtale mig med en vis autoritet om eftersom at jeg er udannet matematikker.

Hvornår er en formel nyttig?
Tja, de to formler:
T = ½bc*sin(A)
T = ½a1a2*sin(A) + ½c1c2*sin(C)
er akkurat lige nyttige, men det afhænger jo af hvilken slags problem man skal løse. Trekanter er simplere end firkanter, og derfor ser man mange opgaver over dem. Hvorfor koncentrere sig om 4-kant formler når man næsten altid kan beregne det samme ved at kombinere er passende antal trekantformler.

Hvornår er en formel ”officiel”?
Det er den når den er tilstrækkelig simpel og almennyttig til at den enten har fået et (kæle)navn eller bliver inkluderet i diverse formelsamlinger som vi bruger i gymnasiet eller på universitetet.

Han spørger om man kan regne arealet ud, uden at dele op i trekanter. Basta...

:o)

Jeg synes til gengæld at det er en temmelig uinteressant skelnen. Der er intet som helst ”mindre fint” ved f.eks. at dele noget op i trekanter og få en formel ud af det på den måde. Det er en fremgangsmåde matematikere bruger konstant og hele tiden – at dele et problem op i mindre kendte problemer og få en ny viden af den vej.

Faktisk var det den måde at man først kom frem til formlen for cirklens areal. Er det så en mindre ”ren” formel blot fordi at der har været trekanter ind over undervejs i udregningen?

Og så håber jeg at det er muligt at argumentere mere vægtigt end ved at ty til ord som ”basta”.

Ikke mere herfra.

Basta er ikke et argument ;o)

Jeg hæfter mig blot ved hvad der rent faktisk spørges til, og jeg tror ikke dit svar er hvad spørgeren eftersøger - og nu har det her jo efterhånden taget en akedemisk og småfilosofisk drejning...

God weekend, slut herfra også. Der kan vist ikke koges mere suppe på den ged :o)

PS: Har du det dårligt med ordet basta, kan du få min kommentar uden dette:

Han spørger om man kan regne arealet ud, uden at dele op i trekanter!

:o)

Så det vil altså sige at der ikke findes en simpel formel for udregningen af vilkårlige firkanter som der er det for vilkårlige trekanter... Det var alt jeg ville vide. Og dertil er martin:moth jo den der er kommet tættest på svaret?

Hvis jeg har opfattet dette forkert må I MEGET gerne rette på min opfattelse :)

I hvilken forstand er den ene eller anden formel simpel?

T = ½bc*sin(A) - 2 sider og en vinkel
F = ½a1a2*sin(A) + ½c1c2*sin(C) - 4 sider og to vinkler, kan også laves i en version med 3 sider og 2 vinkler

nielle: Forsøg at læs spørgsmålets sidste linie :o)

Nielle har ret i sin formel og sin forklaring.
Der bliver spurgt, om det er muligt at finde arealet uden at dele firkanten op i to trekanter først. Og Nielle deler IKKE firkanten op i to trekanter - han skal blot indsætte de ukendte sider og vinkler, og så har han arealet. Det er selvfølgelig så tæt på, som det overhovedet kan komme. Men med én formel slipper han for at tænke geometrisk og dele op i trekanter manuelt.

Men når man udleder en formel for fx et areal, så starter man jo netop med det, man kender. Hvis firkanten består af to trekanter, så starter man med det, og forsøger at forkorte det hele ned til en simpel formel til slut. Alle arealformler starter jo oprindeligt med, at figurer, hvis arealformler man allerede kendte, blev sat sammen, så de passede til det nye areal man forsøgte at finde frem til.
Så kan man næsten altid sige, at den formel man har, i virkeligheden bare er at dele figuren op i en masse trekanter fx.

Om en formel er brugbar nok til at være en formel, kommer nok an på, hvem der kigger på den, kan jeg forstå ud af denne diskussion ;)
Men alt i alt: Martin Moth, du er vist blevet bedt om at lægge et svar, så lad os lukke denne tråd nu.
Forhåbentlig har alle fået svar på deres spørgsmål :)

  // Steeven

efter steevens post kan jeg se idéen i nielles svar.

Derfor vil jeg gerne bede jer begge 2 om at smide et svar (martin_moth & nielle), da begge egentligt har ret.

Man kan sige at Nielle delerfirkanten op i 2 trekanter, men det at han gør det i én formel gør det overskueligt, og gør at jeg slipper for at skulle lave flere udregninger. For som mit endelige ønsker er:
"Jeg ved det er muligt at dele firkanten i 2 trekanter, men ønsket er at udregne arealet ved hjælp af én formel." nielles "formel" gør et muligt for mig at gøre det med én formel. Men derfor at martin stadig ret i at det ikke kan lades at gøre uden at man deler den op i 2 trekanter.

giv dem bare til nielle, han har vist brugt mest energi :o)

så mangler jeg bare et svar fra nielle ;)

Da der nu er gået over et år tror jeg det er på tide at lukke. Hvis en af jer vil have points smider I bare et svar, ellers lukker jeg postet i starten af Maj :)

Nu er maj jo for længst fløjet forbi...