Hjælp til konvertering af LaTeX dokument

Fik ikke det hele med, her er det hele:
Uden hjælpemidler
\section{Opgave 1}
Isolering af $t_1$ i formlen:
\[
\begin{array}{l}
E_2  - E_1  = m*c*\left( {t_2  - t_1 } \right) \\
  \Updownarrow \frac{{E_2  - E_1 }}{{m*c}} = t_2  - t_1  \\
  \Updownarrow \frac{{E_2  - E_1 }}{{m*c}} + t_1  = t_2  \\
\underline{\underline { \Updownarrow t_1  = t_2  - \left( {\frac{{E_2  - E_1 }}{{m*c}}} \right)}}  \\
\end{array}
\]

\section{Opgave 2}
Reducering af brøken:
\[
\frac{{a^2  - 4ab + 4b^2 }}{{2a - 4b}} = \frac{{\left( {a - 2b} \right)*(a - 2b)}}{{2\left( {a - 2b} \right)}} = \underline{\underline {\frac{{a - 2b}}{2}}}  = \underline{\underline {\frac{1}{2}a - b}}
\]

\section{Opgave 3}
Bestemmelse af forskrift for potensfunktionen.
\[
\begin{array}{l}
a = \frac{{\log y_2  - \log y_1 }}{{\log x_2  - \log x_1 }} \\
  \\
a = \frac{{\log \left( {\frac{5}{4}} \right) - \log \left( 5 \right)}}{{\log \left( 4 \right) - \log \left( 2 \right)}} = \frac{{\log \left( {\frac{5}{4}:5} \right)}}{{\log \frac{4}{2}}} = \frac{{\log \left( {\frac{5}{{20}}} \right)}}{{\log \left( 2 \right)}} \\
  = \frac{{\log \left( {\frac{1}{4}} \right)}}{{\log \left( 2 \right)}} = \frac{{\log \left( 1 \right) - \log \left( {4)} \right)}}{{\log \left( 2 \right)}} = \frac{{0 - \log \left( 4 \right)}}{{\log \left( 2 \right)}} =  - 2 \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
b = \frac{{y_1 }}{{x_1 ^a }} \\
  \\
b = \frac{5}{{2^{ - 2} }} = \frac{5}{{1/4}} = 20 \\
\end{array}
\]

\[
\underline{\underline {f\left( x \right) = 20*x^{ - 2} }}
\]

\section{Opgave 6}
Forstørrelsesfaktoren, dvs. det tal der skal ganges med for at få længden af en stor side når man kender den lille:
\[
\frac{{10}}{6}
\]

\subsection{Siden |BC|}
Beregning af sidelængden |BC|:
\[
|BC| = \frac{{10}}{6}*4 = \frac{{10*4}}{6} = \underline{\underline {\frac{{40}}{6}}}
\]

\subsection{Siden |AD|}
Beregning af sidelængden |AD|:
\[
|AD| = \left( {\frac{{10}}{6}*3} \right) - 3 = \frac{{30}}{6} - 3 = 5 - 3 = \underline{\underline 2}
\]

\section{Opgave 9}
Funktionen:
\[
\frac{{3x^2  - 6x}}{{x - 2}}
\]

\subsection{Bestemmelse af lim for x -> 3}
Bestemmelse af lim for x gående mod 3.
\[
\frac{{3*\left( 3 \right)^2  - 6*\left( 3 \right)}}{{\left( 3 \right) - 2}} = \frac{{27 - 18}}{1} = \frac{9}{1} = 9
\]

\[
Dvs.\,\,for\,\,x \to 3\,\,s{\aa}\,\,er\,\,\underline{\underline {\lim 9}}
\]

\subsection{Bestemmelse af lim for x -> 2}
Bestemmelse af lim for x gående mod 2.
Først udføres polynomiumdivision:
\[
\begin{array}{l}
3x^2  - 6x:\left( {x - 2} \right) = 3x \\
\underline { - \left( {3x^2  - 6x} \right)}  \\
0 \\
\end{array}
\]

Nu kan x-værdien indsættes:
\[
3*(2) = 6
\]

\[
Dvs.\,\,for\,\,x \to 2\,\,s{\aa}\,\,er\,\,\underline{\underline {\lim 6}}
\]

\section{Opgave 11}
Bestemmelse af værdier for tallet b, for hvilken værdimængden for funktionen f.
Formel for udregning af y-værdien i toppunktet:
\[
- \frac{d}{{4a}}
\]

Da værdimængden er:
\[
Vm\left( f \right) = ] - \infty \,\,;\,\,3]
\]

Så skal formlen for en parabels toppunkt sættes lig max værdien i værdimængden:
\[
\begin{array}{l}
\frac{{b^2  - 4*\left( { - 1} \right)*\left( 2 \right)}}{{ - 4*\left( { - 1} \right)}} = 3 \\
  \Updownarrow \frac{{b^2  + 8}}{4} = 3 \\
  \Updownarrow b^2  + 8 = 4*3 \\
  \Updownarrow b^2  = 12 - 8 \\
  \Updownarrow b = \mathop {}\nolimits_ - ^ +  \sqrt 4  \\
\underline{\underline { \Updownarrow b = \mathop {}\nolimits_ - ^ +  2}}  \\
\end{array}
\]

Med hjælpemidler.
\section{Opgave 3}
\subsection{Længden af |CA| og vinkel BCA}
\subsubsection{Længde af |CA|}
Bestemmelse af antal sømil skibet skal sejle hvis det sejler direkte fra havn C til havn A, dvs strækningen |CA|:
\[
\begin{array}{l}
|CB|^2  + |BA|^{}  = |CA|^2  \\
|CA| = \sqrt {20^2 s{\o}mil + 15^2 s{\o}mil}  \\
|CA| = \sqrt {400s{\o}mil + 225s{\o}mil}  \\
\underline{\underline {|CA| = 25s{\o}mil}}  \\
\end{array}
\]

\subsubsection{Vinklen BCA}
Bestemmelse af vinklen BCA:
\[
\begin{array}{l}
\frac{{\sin \left( {CBA} \right)}}{{|CA|}} = \frac{{\sin \left( {BCA} \right)}}{{|BA|}} \\
  \Updownarrow \sin \left( {BCA} \right) = \frac{{\sin \left( {CBA} \right)*|BA|}}{{|CA|}} \\
  \\
\angle BCA = \sin ^{ - 1} \left( {\frac{{\sin \left( {90} \right)*15}}{{25}}} \right) = \underline{\underline {36,869^o }}  \\
\end{array}
\]

\subsection{Beregning af |DB|}
Beregning af afstanden i sømil mellem havn D og havn B:
\[
|DB| = \sqrt {\left( {40^2 s{\o}mil + 20^2 s{\o}mil} \right) - \left( {2*40s{\o}mil*20s{\o}mil*\cos \left( {80} \right)} \right)}  = \underline{\underline {41,498s{\o}mil}}
\]

\subsection{Beregning af |DA|}
Beregning af afstanden i sømil mellem havn D og havn A:
Først beregnes $\angle ACD$, vi ved at vinkel C totalt er $80^0$, og vi har i første stykke beregnet $\angle BCA$ og $\angle ACD$ kan beregnes ved at sige $80^0$ minus $\angle BCA$:
\[
80^o  - 36,860^o  = 43,131^o
\]

Længden |CA| er også fra først beregnet stykke kendt, og nu kan |DA| beregnes:
\[
|DA| = \sqrt {\left( {25^2 s{\o}mil + 40^2 s{\o}mil} \right) - \left( {2*25s{\o}mil*40s{\o}mil*\cos \left( {43,131} \right)} \right)}  = \underline{\underline {27,666s{\o}mil}}
\]

\section{Opgave 5}
\subsection{Bestemmelse af monotomiforhold}
Bestemmelse af monotomiforholdene for funktionen f:
\[
\begin{array}{l}
f(x) = x^3  - 3x^2  \\
  \\
f'(x) = 3x^2  - 6x \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
f'(x) = 0 \\
  \\
3x^2  - 6x = 0 \\
  \\
d = \left( { - 6} \right)^2  - \left( {4*\left( 3 \right)*\left( 0 \right)} \right) = 36 - 0 = 36 \\
  \\
x = \frac{{ - \left( { - 6} \right)\mathop {}\nolimits_ - ^ +  \sqrt {36} }}{{2*\left( 3 \right)}} = 0\,\,eller\,\,2 \\
\end{array}
\]

Fortegnsvariationen er vedlagt bagerst.

Ved at betragte fortegnsvariationen så kan monotomiforholdene bestemmes til:
\[
\begin{array}{l}
f(x)\,\,er\,\,voksende\,\,i\,\,{\mathop{\rm int}} ervallet\,\,x \in ] - \infty \,\,;\,\,0] \\
  \\
f(x)\,\,er\,\,faldene\,\,i\,\,{\mathop{\rm int}} ervallet\,\,x \in [0\,\,;\,\,2] \\
  \\
f(x)\,\,er\,\,voksende\,\,i\,\,{\mathop{\rm int}} ervallet\,\,x \in [2\,\,;\,\,\infty [ \\
\end{array}
\]

\subsection{Skitse af graf}
Skitse af grafen er vedlagt bagerst.

\section{Opgave 7a}
\subsection{Tryk i højden 15 km}
Bestemmelse af trykket i højden 15 km:
\[
p = 226*e^{ - 0,157\left( {\left( {15} \right) - 11} \right)}  = \underline{\underline {120,606mb}}
\]

\subsection{Højden ved et tryk på 150 mb}
Bestemmelse af højden ved trykket på 150 mb:
\[
\begin{array}{l}
p = 226*e^{ - 0,157\left( {h - 11} \right)}  \\
  \Updownarrow \frac{p}{{226}} = e^{ - 0,157\left( {h - 11} \right)}  \\
  \Updownarrow \ln \left( {\frac{p}{{226}}} \right) =  - 0,157\left( {h - 11} \right) \\
  \Updownarrow \frac{{\ln \left( {\frac{p}{{226}}} \right)}}{{ - 0,157}} = h - 11 \\
  \Updownarrow h = \left( {\frac{{\ln \left( {\frac{p}{{226}}} \right)}}{{ - 0,157}}} \right) + 11 \\
\end{array}
\]

\[
h = \left( {\frac{{\ln \left( {\frac{{150}}{{226}}} \right)}}{{ - 0,157}}} \right) + 11 = \underline{\underline {13,610km}}
\]

\subsection{Tilvækst i højden, der svarer til at trykket falder 80%}
Bestemmelse af den tilvækst i højden, der vil svare til at trykket falder med 80%:
\[
\begin{array}{l}
P = 226*e^{ - 0,157\left( {h - 11} \right)}  \\
  \\
0,2P = 226*e^{ - 0,157\left( {h + x - 11} \right)}  \\
\end{array}
\]

Disse 2 udtryk divideres med hinanden, da forholdstallet skal findes, dvs det tal højden, h,  skal adderes med for at man får det ønskede trykfald på 80%:
\[
\begin{array}{l}
\frac{{0,2P}}{P} = \frac{{226*e^{ - 0,157\left( {h + x - 11} \right)} }}{{226*e^{ - 0,157\left( {h - 11} \right)} }} \\
  \Updownarrow 0,2 = e^{ - 0,157\left( {\left( {h + x - 11} \right) - \left( {h - 11} \right)} \right)}  \\
  \Updownarrow \ln \left( {0,2} \right) =  - 0,157\left( {\left( {h + x - 11} \right) - \left( {h - 11} \right)} \right) \\
  \Updownarrow \ln \left( {0,2} \right) =  - 0,157\left( {h + x - 11 - h + 11} \right) \\
  \Updownarrow \ln \left( {0,2} \right) =  - 0,157\left( x \right) \\
\underline{\underline { \Updownarrow x = \frac{{\ln \left( {0,2} \right)}}{{ - 0,157}}}}  \\
\end{array}
\]

Dvs. det en aktuel højde skal være er original højden plus: \[
{\frac{{\ln \left( {0,2} \right)}}{{ - 0,157}}}
\]
eller i foreståelig tal ca: $10,251$ for at trykket falder med 80%.

\subsection{Bestemmelse af h udtrykt ved p}
Bestemmelse af højden, h, udtrykt ved trykket, p:
\[
\begin{array}{l}
p = 226*e^{ - 0,157\left( {h - 11} \right)}  \\
  \Updownarrow \frac{p}{{226}} = e^{ - 0,157\left( {h - 11} \right)}  \\
  \Updownarrow \ln \left( {\frac{p}{{226}}} \right) =  - 0,157\left( {h - 11} \right) \\
  \Updownarrow \frac{{\ln \left( {\frac{p}{{226}}} \right)}}{{ - 0,157}} = h - 11 \\
  \Updownarrow h = \left( {\frac{{\ln \left( {\frac{p}{{226}}} \right)}}{{ - 0,157}}} \right) + 11 \\
\end{array}
\]

Værs'go:
http://www.anjaoglars.dk/lars/eksperten.pdf

Lars

Takker mange gange