Er du hardcore til matematik?

Jeg er i forbindelse med en opgave på mit studie, stødt på et matematik problem, som jeg ikke kan løse. Kan du?

1000 spillere indsætter 100 kr. på en pokerside.

De spiller to og to mod hinanden. (heads up)

Når de vil spille om 10 kroner koster det 11 kr. 10 kr. går til puljen og 1 kr. går til hjemmesiden.

Alle 1000 spillere spiller om 10 kr. hver gang og de fordeler sig således:

1% af spillerne vinder 0 ud 10 spil.     Hvilket svarer til en gennemsnitlig gevinst på -11 kr.
3% af spillerne vinder 1 ud 10 spil.    Hvilket svarer til en gennemsnitlig gevinst på -9 kr.
6% af spillerne vinder 2 ud 10 spil.    Hvilket svarer til en gennemsnitlig gevinst på -7 kr.
10% af spillerne vinder 3 ud 10 spil.     Hvilket svarer til en gennemsnitlig gevinst på -5 kr.
15% af spillerne vinder 4 ud 10 spil.    Hvilket svarer til en gennemsnitlig gevinst på -3 kr.
30% af spillerne vinder 5 ud 10 spil.    Hvilket svarer til en gennemsnitlig gevinst på -1 kr.
15% af spillerne vinder 6 ud 10 spil.    Hvilket svarer til en gennemsnitlig gevinst på +1 kr.
10% af spillerne vinder 7 ud 10 spil.    Hvilket svarer til en gennemsnitlig gevinst på +3 kr.
6% af spillerne vinder 8 ud 10 spil.    Hvilket svarer til en gennemsnitlig gevinst på +5 kr.
3% af spillerne vinder 9 ud 10 spil.    Hvilket svarer til en gennemsnitlig gevinst på +7 kr.
1% af spillerne vinder 10 ud 10 spil.    Hvilket svarer til en gennemsnitlig gevinst på +9 kr.


Efter 9 spil vil fordelingen af spillere se således ud:

  1% vil have    1 kr. tilbage (10 spillere)
  3% vil have  19 kr. tilbage (30)
  6% vil have  37 kr. tilbage (60)
10% vil have  55 kr. tilbage (100)
15% vil have  73 kr. tilbage (150)
30% vil have  91 kr. tilbage (300)
15% vil have 109 kr. tilbage (150)
10% vil have 127 kr. tilbage (100)
  6% vil have 145 kr. tilbage (60)
  3% vil have 163 kr. tilbage (30)
  1% vil have 181 kr. tilbage (10)


Ny pulje = 1000 - 10 = 990 spillere
Procentdel    Antal spillere
1%    9,9
3%    29,7
6%    59,4
10%    99
15%    148,5
30%    297
15%    148,5
10%    99
6%    59,4
3%    29,7
1%    9,9

Placering    Antal spillere    Kroner
1%    9,9 spillere    19 kr. tilbage
3%    30 - 9,9 = 20,1 spillere
29,7-20,1 = 9,6 spillere    19 kr. tilbage
37 kr. tilbage
6%    60 - 9,6 = 50,4 spillere
59,4 - 50,4 = 9 spillere    37 kr. tilbage
55 kr. tilbage
10%    100 - 9 = 91 spillere
99 - 91 = 8 spillere    55 kr. tilbage
73 kr. tilbage
15%    150 - 8 =142 spillere
148,5 - 142 = 6,5 spillere    73 kr. tilbage
91 kr. tilbage
30%    300 - 6,5 = 293,5 spillere
297 - 293,5 = 3,5 spillere    91 kr. tilbage
109 kr. tilbage
15%    150 - 3,5 = 146,5 spillere
148,5 - 146,5 = 2 spillere    109 kr. tilbage
127 kr. tilbage
10%    100 - 2 = 98 spillere
99 - 98 = 1 spiller    127 kr. tilbage
145 kr. tilbage
6%    60 - 1 = 59 spillere
59,4 - 59 = 0,4 spillere    145 kr. tilbage
163 kr. tilbage
3%    30 - 0,4 = 29,6 spillere
29,7 - 29,6 = 0,1 spillere    163 kr. tilbage
181 kr. tilbage
Efter yderligere et spil (spil 10)

Placering    Antal spillere    Kroner    Status
1%    9,9 spillere    19 - 11 = 8 kr. tilbage    Ude
3%    30 - 9,9 = 20,1 spillere
29,7-20,1 = 9,6 spillere    19 - 9 = 10 kr. tilbage
37- 9 = 28 kr. tilbage    Ude
6%    60 - 9,6 = 50,4 spillere
59,4 - 50,4 = 9 spillere    37 - 7 = 30 kr. tilbage
55 - 7 =48 kr. tilbage   
10%    100 - 9 = 91 spillere
99 - 91 = 8 spillere    55 - 5 = 50 kr. tilbage
73 - 5 = 68 kr. tilbage   
15%    150 - 8 =142 spillere
148,5 - 142 = 6,5 spillere    73 - 3 = 70 kr. tilbage
91 - 3 = 88 kr. tilbage   
30%    300 - 6,5 = 293,5 spillere
297 - 293,5 = 3,5 spillere    91 - 1 = 90 kr. tilbage
109 - 1 = 108 kr. tilbage   
15%    150 - 3,5 = 146,5 spillere
148,5 - 146,5 = 2 spillere    109 + 1 kr. = 110 kr. tilbage
127 + 1 kr. = 128 kr. tilbage   
10%    100 - 2 = 98 spillere
99 - 98 = 1 spiller    127 + 3 kr. = 130 kr. tilbage
145 + 3 kr. = 148 kr. tilbage   
6%    60 - 1 = 59 spillere
59,4 - 59 = 0,4 spillere    145 + 5 kr. = 150 kr. tilbage
163 + 5 kr. = 168 kr. tilbage   
3%    30 - 0,4 = 29,6 spillere
29,7 - 29,6 = 0,1 spillere    163 + 7 kr. = 170 kr. tilbage
181 + 7 kr. = 188 kr. tilbage   
1%    10 - 0,1  = 9,9 spillere    181 + 9 kr. = 190 kr. tilbage   
Ny pulje = 990 - 30 = 960 spillere

Placering    Antal spillere    Kroner
1%    9,6 spillere    28 kr. tilbage
3%    28,8 spillere    30 kr. tilbage
6%    50,4 - 28,8 = 21,6 spillere
9 spillere
57,6 - 21,6 - 9 = 27 spillere    30 kr. tilbage
48 kr. tilbage
50 kr. tilbage
10%    91 - 27 = 64 spillere
8 spillere
96 - 64 - 8 = 24 spillere    50 kr. tilbage
68 kr. tilbage
70 kr. tilbage
15%    142 - 24 =118 spillere
6,5 spillere
144-118-6,5 = 19,5 spillere    70 kr. tilbage
88 kr. tilbage
90 kr. tilbage
30%    293,5 - 19,5 = 274 spillere
297 - 293,5 = 3,5 spillere
288-274-3,5 = 10,5 spillere    90 kr. tilbage
108 kr. tilbage
110 kr. tilbage
15%    146,5 - 10,5 = 136 spillere
2 spillere
144 - 136 - 2 = 6 spillere    110 kr. tilbage
128 kr. tilbage
130 kr. tilbage
10%    98 - 6  = 92 spillere
1 spiller
96 - 92 - 1 = 3 spillere    130 kr. tilbage
148 kr. tilbage
150 kr. tilbage
6%    59 - 3  = 56 spillere
0,4 spillere
57,6 - 56 - 0,4 = 1,2 spillere    150 kr. tilbage
168 kr. tilbage
170 kr. tilbage
3%    29,6-1,2= 28,4 spillere
= 0,1 spillere
28,8-28,4-0,1= 0,3 spillere    170 kr. tilbage
188 kr. tilbage
190 kr. tilbage
1%    9,9 - 0,3  = 9,6 spillere    190 kr. tilbage

Efter yderligere 2 spil (spil 12)
Placering    Antal spillere    Kroner    Status
1%    9,6 spillere    28 - 11 - 11  = 6 kr. tilbage    Ude
3%    28,8 spillere    30 - 9 - 9 = 12 kr. tilbage   
6%    50,4 - 28,8 = 21,6 spillere
9 spillere
57,6 - 21,6 - 9 = 27 spillere    30 - 7 - 7 = 16 kr. tilbage
48 - 7 - 7 = 34 kr. tilbage
50 - 7 - 7 = 36 kr. tilbage   
10%    91 - 27 = 64 spillere
8 spillere
96 - 64 - 8 = 24 spillere    50 - 5 - 5 = 40 kr. tilbage
68 - 5 - 5 = 58 kr. tilbage
70 - 5 - 5 = 60 kr. tilbage   
15%    142 - 24 =118 spillere
6,5 spillere
144-118-6,5 = 19,5 spillere    70 - 3 - 3 = 64 kr. tilbage
88 - 3 - 3 = 82 kr. tilbage
90 - 3 - 3 = 84 kr. tilbage   
30%    293,5 - 19,5 = 274 spillere
297 - 293,5 = 3,5 spillere
288-274-3,5 = 10,5 spillere    90 - 1 - 1 = 88 kr. tilbage
108 - 1 - 1 = 106 kr. tilbage
110 - 1 - 1 = 108 kr. tilbage   
15%    146,5 - 10,5 = 136 spillere
2 spillere
144 - 136 - 2 = 6 spillere    110 + 1 + 1 = 112 kr. tilbage
128 + 1 + 1 = 130 kr. tilbage
130 + 1 + 1 = 132 kr. tilbage   
10%    98 - 6  = 92 spillere
1 spiller
96 - 92 - 1 = 3 spillere    130 + 3 + 3 = 136 kr. tilbage
148 + 3 + 3 = 154 kr. tilbage
150 + 3 + 3 = 156 kr. tilbage   
6%    59 - 3  = 56 spillere
0,4 spillere
57,6 - 56 - 0,4 = 1,2 spillere    150 + 5 + 5 = 160 kr. tilbage
168 + 5 + 5 = 178 kr. tilbage
170 + 5 + 5 = 180 kr. tilbage   
3%    29,6-1,2= 28,4 spillere
= 0,1 spillere
28,8-28,4-0,1= 0,3 spillere    170 + 7 + 7 = 184 kr. tilbage
188 + 7 + 7 = 202 kr. tilbage
190 + 7 + 7 = 204 kr. tilbage   
1%    9,9 - 0,3  = 9,6 spillere    190 + 9 + 9 = 208 kr. tilbage   

Ny pulje 960 - 9,6 spillere = 950,4

Placering    Antal spillere    Kroner
1%    9,504 spillere    12 kr.
3%    19,296 spillere
28,512 - 19,296 = 9,216 spillere    12 kr.
16 kr.
6%    21,6 - 9,216 = 12,384 spillere
9 spillere
27 spillere
57,024 - 12,384 - 9 - 27 = 8,64 spillere    16 kr.
34 kr.
36 kr.
40 kr.
10%    64 - 8,64 = 55,36 spillere
8 spillere
96 - 64 - 8 = 24 spillere
95,04 - 55,36 - 8 - 24 = 7,68 spillere     40 kr.
58 kr.
60 kr.
64 kr.
15%    118 - 7,68 = 110,32 spillere
6,5 spillere
144-118-6,5 = 19,5 spillere
142,56 - 110,32 - 6,5 - 19,5 = 6,24 spillere    64 kr.
82 kr.
84 kr.
88 kr.
30%    274 - 6,24 = 267,76 spillere
297 - 293,5 = 3,5 spillere
288-274-3,5 = 10,5 spillere    88 kr.
106 kr.
108 kr.
15%    285,12 - 267,76 - 3,2 - 10,8 = 3,36 spillere
2 spillere
144 - 136 - 2 = 6 spillere
142,56 - 132,34 - 2 - 6,3 = 1,92 spillere    112 kr.
130 kr.
132 kr.
136 kr.
10%    91,7 - 1,92 = 89,78 spillere
1 spiller
96 - 92 - 1 = 3 spillere
95,04 - 89,78 - 1 - 3,3 = 0,96 spillere    136 kr.
154 kr.
156 kr.
160 kr.
6%    55,7 - 0,96 = 54,74 spillere
0,4 spillere
57,6 - 56 - 0,4 = 1,2 spillere
57,024 - 54,74 - 0,4 -1,5 = 0,384 spillere    160 kr.
178 kr.
180 kr.
184 kr.
3%    28,1 - 0,384 = 27,716 spillere
0,1 spillere
0,6 spillere
28,512 - 27,716 - 0,1 - 0,6 = 0,096 spillere    184 kr.
202 kr.
204 kr.
208 kr.
1%    9,6 - 0,096  = 9,504 spillere    208 kr.

Efter yderligere 1 spil (spil 13):

1% 9,504 vil have 12 - 11 = 1 kr. → ude (9,504 kr. går ud)
3% 19,296 vil have 12 - 9 = 3 kr. → ude ( 57,888 kr. går ud)
3% 9,216 vil have 16 - 9 = 7 kr. → ude ( 64,512 kr. går ud)
Af 6 % puljen vil 12,384 spillere have 16 -7 = 9 kr. → ude (111,456 kr. går ud)
Af 6 % puljen vil 9 spillere have 34 - 7 = 27 kr. tilbage
Af 6 % puljen vil 27 spillere have 36 - 7 = 29 kr. tilbage
Af 6 % puljen vil 8,64 spillere have 40 - 7 = 33 kr. tilbage
Af 10 % puljen vil 55,56 spillere have 40-5  = 35 kr. tilbage
Af 10 % puljen vil 8 spillere have 58 - 5 = 53 kr. tilbage
Af 10 % puljen vil 24 spillere have 60 - 5 = 55 kr. tilbage
Af 10 % puljen vil 7,68 spillere have 64 - 5 = 59 kr. tilbage
Af 15% puljen vil 110,32 spillere have 64 - 3 = 61 kr. tilbage
Af 15% puljen vil 6,5 spillere have 82 - 3 = 79 kr. tilbage
Af 15 % puljen vil 19,5 spillere have 84 - 3 = 81 kr. tilbage
Af 15 % puljen vil 6,24 spillere have 88 - 3 = 85 kr. tilbage
Af 30% puljen vil 267,76 spillere have 88 - 1 = 87 kr. tilbage
Af 30% puljen vil 3,2 spillere have 106 - 1 = 105 kr. tilbage
Af 30% puljen vil 10,8 spillere have 108 - 1 kr. = 107 kr. tilbage
Af 30 % puljen vil 3,36 spillere have 112 - 1  = 111 kr. tilbage
Af 15% puljen vil 132,34 spillere have 112 +1 = 113 kr. tilbage
Af 15% puljen vil 2 spillere have 130 + 1 = 131 kr. tilbage
Af 15 % puljen vil 6,3 spillere have 132 + 1 = 133 kr. tilbage
Af 15 % puljen vil 1,92 spillere have 136 + 1 = 137 kr. tilbage
Af 10% puljen vil 89,78 spillere have 136 + 3 = 139 kr. tilbage
Af 10% puljen vil 1 spiller have 154 + 3 kr. = 157 kr. tilbage
Af 10 % puljen vil 3,3 spillere have 156 + 3 = 159 kr. tilbage
Af 10 % puljen vil 0,96 spillere have 160 + 3 = 163 kr. tilbage
Af 6% puljen vil 54,74 spillere have 160 + 5 = 165 kr. tilbage
Af 6% puljen vil 0,4 spillere have 178 + 5 = 183 kr. tilbage
Af 6% puljen vil 1,5 spillere have 180 + 5 = 185 kr. tilbage
Af 6% puljen vil  0,384 spillere have 184 + 5 = 189 kr. tilbage
Af 3% puljen vil 27,716 spillere have 184 + 7 = 191 kr. tilbage
Af 3% puljen vil 0,1 spillere have 202 + 7 = 209 kr. tilbage
Af 3% puljen vil 0,6 spillere have 204 + 7 = 211 kr. tilbage
Af 3% puljen vil 0,096 spillere have 208 + 7 = 215 kr. tilbage
Af 1% puljen vil 9,504 spillere have 208 + 9 = 217 kr. tilbage

Da siden tjener 1 kr. pr. spil vil den indtil nu have tjent:
1000 spillere * 1 kr. * 9 spil = 9000 kr.
990 spillere * 1 kr. * 1 spil = 990 kr.
960 spillere * 1 kr. * 2 spil = 1920 kr.
950,4 spillere * 1 kr. * 1 spil = 950,4 kr.

Vha. den slaviske metode er jeg efter 18 spil nået frem til følgende:
Der vil være 800 spillere tilbage.
Siden vil have tjent: 9000 + 990 + 1920 + 950,4 + 1800 + 864 + 855,36 + 810 = 17.189,76 kr.
Saldo efter rester på spillernes konto:
    Efter    9 spil: 100.000 kr. - 10 kr.             = 99.990 kr.
    Efter 10 spil: 99.990 kr. - 79,2 kr. - 201 kr.         = 99.709,8 kr.
    Efter 12 spil: 99.709,8 kr. - 57 kr.             = 99.652,8 kr.
    Efter 13 spil: 99.652,8 kr. - 9,504 - 57,888 - 64,512 - 111,456     = 99.409,44 kr.
    Efter 15 spil: 99.409,44 - 45 - 243             = 99.121,55 kr.
    Efter 16 spil: 99.121,55 - 69,12            = 99.052,43 kr.
    Efter 17 spil: 99.052,43-8,5536-52,0992-41,472-78,0192    = 98.872,29 kr.
    Efter 18 spil: 98.872,286 - 3,8 kr.             = 98.868,49 kr.
Samlet pulje:
Indbetaling: 1000 x 100                     = 100.000 kr.
Rester på spillerne konti = 100.000 - 98.868,49             =      1.131,5 kr.
Indtjening:                        =    17.189,76 kr.
I alt: 100.000 - 1.131,5 - 17.189,76                 =    81.678,74 kr.

Osv. osv. osv. Er det muligt at opstille en formel der kan bruges til at vise ovenstående nøgletal ud fra:
x = antal spillere og y = antal indsatte kroner?